湘南理工学舎・初歩の数学・平方完成

2次式

$ax^2-4x+19$ を平方完成は下式です。

$a(x-2)^2+15$

$=a(x-g)^2 + h$
の a=1 としてグラフにしたのが下図です。（青は

$x^2$ のグラフ）　　　
すなわち

$x^2$ のグラフを x軸をg、y軸をh へ平行移動したものです。
この曲線は放物線(parabola)、また頂点はQ=（g,h)=(2,15)です。

次のように平方完成を用いて解けます
まず積分公式を示します。

$\int \frac{1}{a^2+x^2} dx =\underline{ \frac {1}{a} tan^{-1} \frac{x}{a}}$

問題の分母を平方完成すると

$x^2+4x+13 = (x+2)^2+3^2$

これを積分公式にあてはめると：

$\int \frac{1}{x^2+4ｘ+13}dx = \int \frac{1}{3^2+(x+2)^2}dx$

$= \underline{ \frac{1}{3} tan^{-1}\ \frac{(x+2)}{3} }$

と積分が解けました。

(1)

$x^2+8x+20 =(x-g)^{2}+ h$ 　

$g=\frac{8}{2}=4$ と決定、

$(ｘ+4)^2$ の形が決まる。
あとは定数項が合うようにして、

$\ x^2+8x+20 = \underline{ (x+4)^2+ 4 }$

(2)

$\ x^2+5x= (x-g)^{2}+ h$

$g=\frac{5}{2}$ と決定、

$(ｘ+\frac{5}{2})^2$ の形が決まる。
あとは定数項が合うようにして、

$\ x^2+5x= \underline{ (ｘ+\frac{5}{2})^2-\frac{25}{4}}$

(3)

$\ 2x^2+8x= a(x-g)^{2}+ h$ 　

この例は a=2 です。与式を次のように考える。

$ax^2+bx+c=　a(x^2+\frac{b}{a}x)+c$

$a=2, g=2$ と決定、

$2(ｘ+2)^2$ の形が決まる。
あとは定数項が合うようにして、

$\ x^2+8x = \underline{2(ｘ+2)^2-8 }$

coffe

[コーヒーブレイク/閑話］…関数の語源

平方完成は英語で「completing the square」なので語源は西欧からのものでしょうね。
英語名から日本名がイメージできる用語が多くあります。（素数⇔prime number)
イメージできない用語もあります。　それでは関数(function)はいかがでしょうか。
昔、1600年代に数学者の関孝和（せきたかかず）は代数の計算法を開発して、和算が高等数学として発展するための基礎を作ったことで有名です。その後、何代もの弟子が受け継いできました。　彼は関流の始祖としてあがめられたそうです。
(同年代にアイザック・ニュートン（英1642~1727年）がいます。)
私は「関数」は「関孝和」の「関」からきたのでは？と思っていましたが、推測は間違いでした。
関数を昔は函数（旧字体）と書き、中国からきたものでした。
ちなみに方程式(equation)の語源も中国でした。