基礎数学/数学用語1

•公約数(common divisor)

2つ以上の正の整数に共通する約数のこと。
例：6と18の公約数：1, 2, 3, 6
最大公約数 (greatest common divisor):上の例の”6”です。

•公倍数(common multiple)

2つ以上の正の整数に共通する倍数を公倍数。
例：2と3の公倍数：6, 12, 18, …
最小公倍数（Least common multiple)：上の例で"6"です。

•素数(prime number)

素数とは"1"より大きい整数で、1と自分自身でしか割り切れない数（整数）。
例：2, 3, 5, 7, 11, …97,101,…

•命題(proposition)

真偽の判断の対象となる文章または式、または客観的な真偽が必ず決まる文などのことです。
例えば、「1+1 = 2」は真の（＝正しい）命題で、「3は5よりも大きい」は偽の（＝正しくない）命題です。
下図おいて「AならばBである」の命題に対して：
「BでなければAではない」が対偶
「BならAである」が逆
「AでなければBではない」が裏

•必要条件・十分条件 (necessary condition・sufifient condition)

P[地球]ならばQ[太陽系]であることが成立する:
Q[太陽系]はP[地球]（であるため）の必要条件。
矢印の先が必要条件　P:地球　⇒ Q:太陽系
P[地球]はQ[太陽系]（であるため）の十分条件。
（太陽系に行こう！地球にいるから十分だ！の意味）
但し地球は太陽系の必要条件ではない。
「P:地球 ⇐ X Q:太陽系」は成立しない。
参考 {太陽系の惑星は：水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星}

P＝5、Q＝奇数奇数は「5」の必要条件。
「5」は奇数の十分条件。
「5」は奇数の必要条件ではない。

必要条件かつ十分条件のとき必要十分条件(if and only if)という。
必要十分条件は：
P⇒Q　と Q⇒P の両方が成り立つときです。
すなわちP と Q が同値のときです。
集合P とQ が等しい時：P はQ の必要十分条件である。
矢印は双方向：　P⇔Q　

2の倍数の集合A と偶数の集合B である。
A とB は同値(A=B)であるから　A はB であるための必要十分条件です。
すなわち A ⇔ B　です。

•任意の数…とは

数学での「任意の…」とは日常語とすこし異なります。　
「すべての数」、「勝手な数」と同じ意味で使われます。
英語ではany, allで使われています。
これを知っていると次の数学的帰納法の理解の助けになります。

•閉じているとは

【例１】整数は、「割り算について閉じていない」とは、整数どうしの四足演算のなかで、割り算での答えが整数にならないときがあるから閉じていない。
（除算以外の四則演算については閉じている）

【例2】\(x\)の定義域の閉区間[ 0 , 5 ]とは：\( 0 \leqq\ x \leqq\ 5 \) (端点を含んでいる）

【例3】\(x\)の定義域の開区間（ 0 , 5 ）とは：\( 0 \lt\ x \lt\ 5 \) (端点を含んでいない）

例えば\( y=\frac{2}{x}\)の関数について、上の閉区間[ 0 , 5 ]では微分不可能です。
∵ 閉区間なので\(x\)は0 を含んでいる。
（x=0 →分母が0 で不定形となる）
しかし開区間（ 0 , 5 ）なら微分可能となる。
丸括弧（開）と角括弧 [ 閉 ] はある場面では重要になる。

【注】：特別な意味をもつ括弧としての波括弧 { }:

(1){ \( a_n\ \)} :数列を示す。　
(2){ \( x | P(x) \)}:要素\(x\)の条件\(P(x)\)を満たす集合を示す。

•３段論法とは

「ならば」を使った推論。
(1)AならばB
(2)BならばC
この両方の(1)、(2)が成り立るとき
A＝C が成り立つことを結論とする証明。

•互いに素とは

互いに素とは2つの整数の最大公約数が"1"であること。

互いに素の例：
1 と3、5 と7 、9 と14、 …

互いに素でないの例：
2と4、5と10、9と18、 …

互いに素に関連する性質

(1)連続する整数（2と3、9と10 など）は互いに素である。
(2)互いに素な a,b に対し、ある整数 k があり、a k が b の倍数ならば、k は b の倍数である。
2 と 3 の例： k=6として、a k= 12 ➝ これが b=3 の倍数ならば、k = 6 は b = 3の倍数である。

•因数=約数ともいう(factor)

数（または式）A が 2つの数 a、b の積で表しているとき、a, b　をA の因数（または約数）という。　

•因数定理(factor theorem)

多項式\(f(x)\)は\(f(a)=0\)となるとき\((x-a)\)の因数をもつ。
すなわち、\(f(a)=0\)なる a を探せば、多項式は\((x-a)\)で割り切れる。
因数分解などに応用できます。

\(f(a)=x^3-4x^2+x+6\) を因数分解せよの例。
\(f(a)=0\)なる a は「-1」です。
すなわち\((x+1)\)が因数となります。
これが分かれば、あとの因数分解は容易に判りますね！

•記号「 \( \equiv \) 」

文章の流れ、勉強の内容などにより次の意味を識別しなければなりません。
(1)恒等的（いかなる場合でも）に成り立つ等式。これを強調したい場合に使われいます。
以下の式は恒等式です。
（下式は公式だが、強調を表現したいときに使われます）
　\( sin^2\ A + cos^2\ A　 \equiv 1 \)
　\( log\ A + log\ B　 \equiv 　log\ A\ B \)
(2)２つ整数 A ，B が、M を法（割る数）とした割り算の余りが等しい時の式を合同式という。：
（５と９は４で割ると、残りは１等しい）
例：\( 5\equiv 9 \ mod4 ,\quad 7 \equiv 4 \ mod3 \)

(3)図形AとBは幾何学的に>合同：\(　A \equiv B \)
(4)A と B は同値である。(A,Bには式また事実）

•既約分数

正の分数 \( \frac{b}{a} \) (a,bは自然数)において，
a と b とが互いに素（1以外に共通因数をもたない）のとき
\( \frac{b}{a} \) を既約分数という。
正の有理数は既約分数の形に書くことができる。

coffe

[コーヒーブレイク/閑話］…数学書の読み方

[参考文献] 細井勉「イプシロン・デルタ/数学の論理と日本語」（日本評論社）

従来の一般的な数学の本は、できるだけ簡潔に完成されています。　展開も無駄を省いて論理的にまっすぐ目的に進めている。
同じ説明の繰り返しはしていません。　読んだことは理解されたとして、同じことは繰り返しません。
（紙面数の制約もあったでしょうね）
しかし読者はどこか見逃したなどと迷い、前に戻り何度も読み返す必要があります。
また数学固有の、説明されてない、数学語があります。
これらが数学を難しくしている要因と参考文献に書かれています。
同感しています、でも最近は読者にわかりやすく書かれている本も増えています。
本を購入する前、読む前にはこれらも考慮するといいですね！