置換はこれから学ぶ行列式、余因子、逆行列などをはじめ、いろんな場面で使われいます。
また置換に関係したことがら（用語）が多くあります。混乱しないようにして下さい。
1.置 換
まずは置換 σ の例を示します。
\(σ=\begin{pmatrix}
1 & \underline{2} & \underline{3} & \underline{4} \\
1 & \underline{3} & \underline{4} & \underline{2}
\end{pmatrix}\)
上段の1 から4 までの自然数に対して下段に置き換えた（並び換えた）ものを置換という。
置き換えの操作のことも置換という。
上の例は「1➝1」、「2→3」、「3➝4」、「4→2」という置き換わりです。
重複は許さないので、置き換り方は（並び替え方）は順列になる。
（上の例 n = 4, 置き換り方はn! = 4! = 24通りです）
置き換えを \(σ\) とすると上の置換は：
\(σ(1)=1,\ σ(2)=3,\ σ(3)=4\)
などと表す。
また次がいえます。
\(\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 1
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
2 & 1 & 3 \\
3 & 2 & 1
\end{pmatrix}\)
置換は上段と下段の数の対応なので列を入れ換えても同じである。
上段は左に向かって昇順が見易い。
2.恒等置換(identity permutation)
一般的な表記で表すと：
\(\begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & n \\
c_1 & c_2 & \cdots & c_n
\end{pmatrix}\)
に対し
\(\begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & n \\
1 & 2 & \cdots & n
\end{pmatrix}\)
のように数の入れ替えのないものを恒等置換という。（単位置換ともいう）
すなわち 1,2…n の任意の数 i について：
\(σ(i)=i \) である置換が恒等置換である。
3.互 換
次のように下段の2つだけを置き換えた置換のことを互換という。(他の数はそのまま）
\( σ=\begin{pmatrix}
\underline{1} & 2 & 3 & \underline{4} \\
\underline{4} & 3 & 2 & \underline{1}
\end{pmatrix}\)
この互換は単に(1,4)と書く。（(4,1)でもよい）
4.巡回置換(cyclic permutation)
\( σ=\begin{pmatrix}
1 & \underline{2} & \underline{3} & \underline{4} \\
1 & \underline{3} & \underline{4} & \underline{2}
\end{pmatrix}\)
「2→3」、「3→4」、「4→2」の最後「4→2」は「2」に戻っている。
上記を置換記号で表すと：
\(σ(2)=3, σ(3)=4, σ(4)=2 \)
この置換を巡回置換といい、(2,3,4) と書く。
・巡回する個数が
3個以上が巡回置換
・巡回する個数が
2個のときは互換
5.置換の積(product of permutation)
先に置換の積の性質を述べておきます。
置換の積 \(σ_2 σ_1\) の場合
(1)積の操作はあとに表した\(σ_1\)を先に置換し、次に\(σ_2\)の置換を行う。
この逆、すなわち交換法則は成り立たない。
(2)結合法則は成り立ちます。
\(σ_3 (σ_2 σ_1)\)=\((σ_3 σ_2) σ_1\)
【例題1】置換の積(1)
\(σ_2 σ_1\)と\(σ_1 σ_2\)の2通りを求め、交換法則がきかないことを確認しましょう。
\(σ_1=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 4 & 3 & 1
\end{pmatrix}\)
\(σ_2=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
4 & 1 & 2 & 3
\end{pmatrix}\)
(1)積\( \underline{ σ_2 σ_1 = σ_2 (σ_1)} \)：
1行目だけ説明すると：
\(σ_1\)の1が2に置き換り、2は\(σ_2\)によって1に置き換わる。
\(1 -σ_1\to 2 -σ_2\to 1\)
\(2 -σ_1\to 4 -σ_2\to 3\)
\(3 -σ_1\to 3 -σ_2\to 2\)
\(4 -σ_1\to 1 -σ_2\to 4\)
\(σ_2 σ_1\)=\(σ_2 (σ_1) \)
\(=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
1 & 3 & 2 & 4
\end{pmatrix}\)
(2)積\( \underline{ σ_1 σ_2 = σ_1 (σ_2)} \)：
\(1 -σ_2\to 4 -σ_1\to 1\)
\(2 -σ_2\to 1 -σ_1\to 2\)
\(3 -σ_2\to 2 -σ_1\to 4\)
\(4 -σ_2\to 3 -σ_1\to 3\)
\(σ_1 σ_2\)=\(σ_1 (σ_2) \)
\(=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
1 & 2 & 4 & 3
\end{pmatrix}\)
従って
\( σ_2 σ_1 = σ_2 (σ_1) \neq σ_1 σ_2 = σ_1 (σ_2) \)
となり、置換の積は交換法則は成り立たないことが確認できました。
【例題2】置換の積(2)
(2,3)(2,5)の置換の積を求めよ。
これは2つ置換（互換）の積を表しています。
どんな操作するか説明します。
まず、この互換にない数はそのまま（置換なし）、また最大値が5 なので5次の置換です。
\(σ_2=(2,3), \quad σ_1=(2,5)\)とします。
①「1」は右の\(σ_1\)に記載がないからそのまま「1」、その「1」は左の\(σ_2\)によって「1」のまま。
②「2」は右の\(σ_1\)により「5」に置き換り、「5」は\(σ_2\)によって「5」のまま。
③「3」は右の\(σ_1\)によりそのまま「3」、その「3」は左の\(σ_2\)によって「2」となる。
④「4」は右の\(σ_1\)によりそのまま「4」、その「4」は左の\(σ_2\)によって「4」のまま。
⑤「5」は右の\(σ_1\)により「2」のまま、「2」は\(σ_2\)によって「3」になる。
この結果をまとめると：
\(
σ=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
1 & 5 & 2 & 4 & 3
\end{pmatrix}
\)
6.逆置換(inverse permutation)
置換σの上段と下段を入れ換えた置換を逆置換という。
\(σ^{-1}\)で表す。
\(
σ=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
1 & 3 & 2 & 4
\end{pmatrix}
\)
\(
σ^{-1}=\begin{pmatrix}
1 & 3 & 2 & 4 \\
1 & 2 & 3 & 4
\end{pmatrix}
\)…分かり易く⇒
\(\quad ⇒
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
1 & 3 & 2 & 4
\end{pmatrix}
\)
…と表記してよい。
•互換\(\ τ\ \)の逆置換\( \ τ^{-1} \ \)は元\( \ τ\ \)に戻る
これを確認しましょう。
\(τ=(1,4) =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
4 & 2 & 2 & 1
\end{pmatrix}\)
\(τ^{-1}=(4,1)=(1,4)=τ\)
となることを確認すればよいのです。
\(τ=(1,4) =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
4 & 2 & 2 & 1
\end{pmatrix}\)
\(τ^{-1} =
\begin{pmatrix}
4 & 2 & 3 & 1 \\
1 & 2 & 2 & 4
\end{pmatrix} \)
\( \quad
=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
4 & 2 & 2 & 1
\end{pmatrix}\)
7.偶置換と奇置換(even permutation and odd permutation)
ここで偶置換と奇置換の本題に入る前の準備をします。
互換の積の表現
2つ互換(1,4)(1,2)の積は以下のように操作して演算できる。
\((1,4)(1,2)=σ_2 σ_1 \)とする。
\(σ_1\)の1がに2 に置き換り、2は\(σ_2\)によって2のまま。
（\(σ_2\)に2の表記がないのは置換がないので2-2の対応である）
同様にして演算は以下のとおり。
\(1 -σ_2\to 2 -σ_1\to 2\)
\(2 -σ_2\to 1 -σ_1\to 4\)
\(3 -σ_2\to 3 -σ_1\to 3\)
\(4 -σ_2\to 4 -σ_1\to 1\)
\(σ_2 σ_1 =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 4 & 3 & 1
\end{pmatrix}\)
２つの互換の積が次のように巡回置換なりました。
(
1,2,4)=(
1,4)(
1,2)
3つの組の巡回置換が2つの互換置換の積になった。
任意の置換は巡回置換の積で表せる。
\(σ_=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
3 & 5 & 6 & 4 & 2 & 1
\end{pmatrix}\)
この置換の中に(1,3,6) と (2,5) の2つの巡回置換があります。
この2つの積(1,3,6)(2,5) は上記の互換の積と同様に行います。
結論は\((1,3,6)(2,5)=σ_2 σ_1 = σ\)となります。
置換の中にある巡回置換の積は元の置換になったわけです。
巡回置換の互換の積の一般化は以下の通りになる。
巡回置換の対は
\(h\)
個、互換の数は
\(h-1\)
となる。
一般に次のことがいえます。
•
置換はその中のあるいくつかの巡回置換の積で表せる。
•
巡回置換
\( (c_1, c_2,\cdots ,c_h)\)
は\(h-1\)
の互換の積で表せる。
•以上より
置換はいくつかの互換の積で表せる。
偶置換と奇置換
置換の「互換の積」の表し方は一意ではないが（互換の表し方、互換の数が一意でない）
置換を互換の積で表すときに、その積の互換の数が
偶数か奇数かは置換によって一意（一通り）に決まる。
互換の数が偶数か奇数によって：
•偶数のとき：偶置換いう。
•奇数のとき：奇置換いう。
上の例として：
\(
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
3 & 1 & 2
\end{pmatrix}
=(1,2)(1,3) \cdots2ｺ \)
\(=(1,2)(2,3)(1,3)(1,2)\cdots4ｺ \)
積の中に互換の数は2 と4 で異なるが、いずれも偶数である。
\(
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
3 & 2 & 1
\end{pmatrix}
=(1,3) \cdots1ｺ \)
\(=(1,2)(2,3)(1,3)\cdots3ｺ \)
積の中に互換の数は1 と3 で異なるが、いずれも奇数である。
8.置換の符号(sign of permutation)
置換の符号sgnの定義は
置換
\(σ=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & n \\
c_1 & c_2 & \cdots & c_n
\end{pmatrix}
\)
とすると、次が置換の符号sgnです。
\(\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
偶置換のとき sig(σ)=+1\\
奇置換のとき sig(σ)=-1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \)
注：恒等置換は積の互換の数はゼロです。（ゼロは偶数）
ここで次回の講義（3次の正方行列の行列式）のためにも n=3 の置換の符号を求めます。
\(sign(σ_1)=1\)
（\(σ_1\)
は恒等置換）
\(sign(σ_2)=sign((2,3))=-1 \)
\(sign(σ_3)=sign((1,2))=-1 \)
\(sign(σ_4)=sign((1,2,3))=+1 \)
（互換数(3-1)＝2）
\(sign(σ_5)=sign((1,3,2))=+1 \)
（互換数(3-1)＝2）
\(sign(σ_6)=sign((1,3))=-1 \)
