イプシロン・デルタ論法

関数の収束性や連続性を証明する方法がイプシロン・デルタ論法です。
関数が点$a$で連続とは、グラフでは点$a$ でグラフがつながっていることです。
数学的には関数が点$a$で収束して極限値が存在することです。
その極限値があることを証明するのが$ε・δ$ 論法です。
ここでグラフ示します。先にイメージ的に直感して下さい。
図の下に分かり易く説明しています。

---

はじめにどんな小さな$ε$をとっても、$δ$を十分小さくして（図では太線）、
$|x-a|$が$δ$より小さくなるようにすれば、
$|f(x)-f(a)|$は$ε$内に収まる。
すなわち、このことは：
$0<|x-a|<δ \Rightarrow |f(x)-f(a)|<ε$
となることがいえる。
注：はじめに$ε$を設定し、それに対応する（収まるような）$δ$を考える。

さらに小さな$ε$をとっても、それにあった十分小さく$δ$をとれば$|x-a|$が$δ$より小さくなり、
$|f(x)-f(a)|<ε$となり、
$0<|x-a|<δ \Rightarrow |f(x)-f(a)|<ε$
となる。
このように、何回繰り返して、いくらでも「$ε,δ$」が小さくなり、$|x-a|$が$δ$より小さくなり
すなわち$f(x)$を$f(a)$にいくらでも近づけることです。 $|f(x)-f(a)|<ε$となり、
$0<|x-a|<δ \Rightarrow |f(x)-f(a)|<ε$となり
$\underline{　\displaystyle \lim_{ x \to a} \ f(x)=α }$

となる。…極限値が存在し、連続です

不連続な関数です。 $ε$が大きいときは連続と見える
しかし$ε・δ$論法では「$ε$は任意、ここではいくらでも小さな」
が条件です。　➝Fig4で不連続が判る。

さらに小さな$ε$をとり、それにあった十分小さい$δ$をとると $0<|x-a|$が$δ$より小さくできるが
$|f(x)-f(a)|$ が $ε$ より外れてしまうこと、すなわち：
$|f(x)-f(a)|<ε$とることです。
極限値が存在せず、不連続であることが判る。

---

以上で$ε・δ$ 論法の本質的なことは理解されたでしょう！
参考に高校での関数の極限の定義は：
xが限りなくaに近づき、f(a)が限りなく$α$に近ずくとき、$α$をf(x)の極限値という。
 $\displaystyle \lim_{ x \to a} \ f(x)=α$ となる。　
ことでした。

$ε・δ$ 論法を論理記号で表現すると：
$ε・δ$ 論法

$\underline{ 0<|x-a|}$より、変数$x$は$a$以外の値をとりながら$a$に近ずきます。
（上の下線は「$x$は$a$に近づくが、$a$にはならない」を意味している）
どんなに小さな正の数$ε$とっても、ある正の数$δ$が存在し、
$a-δ<x<a+δ$の範囲のx に対して、
$|f(x)-f(a)|<ε$　となるとき、
$\displaystyle \lim_{ x \to a} \ f(x)=α$ となる。

まず何を証明するか。
εは任意、δは与えれたεに従うが、まずは与式よりxを5に近付けることから$\underline{ |x-5|}<δ$ として
$ε・δ$論法にあてはめる。すなわち：

を証明するのです。

$|f(x)-f(a)|< ε$
$\ \rightarrow |(2x-5)-5| <ε$

$|(2x-5)-5|$
$\ =|2x-10|=2 \underline{|x-5|} <ε$

（上の|x-5|<δ から上式はεとδの関係式に展開できる）

$2|x-5| <ε$より$2δ<ε\quad\therefore　δ <\frac{ε}{2}$

このような$δ$において$|2x-5-5|<ε$が成り立ち、証明ができました。

【確認】
求めた$δ$において
$|f(x)-f(a)|$が$ε$未満になることを確かめます。
 $δ <\frac{ε}{2}$より 今、 $δ=\frac{ε}{3}$ とします。

$|f(x\pm δ)-f(a)|$
$\ = |2(x\pm\frac{ε}{3})-5-5|$
$\ =|10\pm\frac{2ε}{3}-10|=\frac{2ε}{3}<ε$

証明することは：
εは任意、δは$\underline{ |x-2|}<δ$ として
（どんなに小さな$ε$に対しても…になるような$δ$が存在して…）
です。　これから以下の式を抽出します。

$|x-2|<δ \quad …(1)$　
（$x$と$δ$の関係式です）

$|x^2-4|<ε \quad …(2)$

要は$|x^2-4|<ε$ になるよう$δ$を求めればよいのです。(※1)

まず次が成り立ちます：
$|x^2-4|= \underline{|x-2|}|x+2|<δ|x+2|$

$|x+2|$を以下に展開します。

$|x+2|=|x-2+4|=\underline{|(x-2)+(4)|}$

$\quad \underline{ \leq|x-2|+|4|}=δ+4$

(上記は三角不等式を使っています）
したがって式(2)は：

$|x^2-4|<δ|x+2|<δ(δ+4)$

$\qquad =δ^2+4 < ε$

$\therefore δ^2+4-ε <0$

これを解いて：

$δ=-2 \pm \sqrt{4+ε}$

$δ$は正の数なので$\ δ=-2 + \sqrt{4+ε} \ $です。
$ε・δ$論法を満足する$δ$を求めたことになります。（上記※1）
確認します。（詳細は省略）
$\ δ=\frac{1}{2}(-2 + \sqrt{4+ε}) \ $として：

$|f(x)-f(a)|$
$\ =|\{x+\frac{1}{2}(-2 + \sqrt{4+ε})\}^2 - 2^2|$

$\ =ε-\sqrt{4+ε} <ε$

---

イプシロン・デルタ論法にはあと２つのタイプがあります。
すなわち：
 $\displaystyle \lim_{ x \to \infty} \ f(x)= A$

 $\displaystyle \lim_{ x \to -\infty} \ f(x)= A$

です。　これは数列のイプシロン・エヌ論法に似ています。
【例題】
次式を$ε・δ$ 論法により証明せよ。

$\displaystyle \lim_{ x \to \infty} \ \frac{x}{x+1}=1$

（$\quad f(x)=\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\quad$ ）

$|f(x)-1|<ε$　

$|\frac{x}{x+1}-1|<ε$

$\frac{1}{x+1}<ε$

$x>\frac{1}{ε}-1$ (途中省略)

$\therefore δ>\frac{1}{ε}-1\ $となる$δ$は存在し、

$x>δ$ のとき$|f(x)-1|<ε$となる。

[コーヒーブレイク/閑話］…お疲れさまでした

【イプシロン・エヌ論法とイプシロン・デルタ論法】

イプシロン・エヌ論法は数列$\{a_n\}$（n:自然数） が離散的に変化して収束することを証明する方法。
イプシロン・デルタ論法は実数の変数$x$が連続に変化してある定数$a$に限りなく近づき、関数が収束することを証明する方法。